I’d (=I would )like to は「（私は）したい」。would like は want と意味は同じですが、「欲しい」の生々しさを排した大人の言い回し。

動詞 -ing 形を前に出した形には非常に大きな表現効果があります。話し手は when I got out of the taxi（タクシーから降りたときに）などと、接続詞を使った悠長な言い回しをしていません。getting out of the taxi（タクシーから降りていたんですよ）と、動詞 -ing 形による生き生きとした状況描写から文を始めています。ここに臨場感が宿るのです。聞き手からすれば、降りたときに何が起こったのだろうと聞き耳を立てることになります。
ダイアログの次の文と比べてみましょう。
When I opened the front door, I was shocked to see a body lying on the floor.
これは普通の言い回し。「何が起こったのでしょう」とたずねられての答えですから、Opening…という臨場感あふれるドラマチックな形より自然です。

接続詞を使った文と分詞構文の間にあるのがこのような文。
while we were traveling in France 通常の「接続詞＋フルセンテンス」よりもコンパクトでキレがあり、while（～している間）があることで分詞構文より２つの出来事の意味関係が明確な文となっています。

Opening で文が始まり、緊迫した味わいの文となっています。onto は「～の上に」。screamed = cried out　

dashed の前の時点での出来事であるため、「having +過去分詞」が使われています。far は too much（多すぎる）をさらに強調しています。

bending over …が文頭に置かれ、ワクワクの展開へ。bend over は「かがむ、腰を曲げる」。split は「裂く」。